【題目】如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點(diǎn),△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開(kāi)后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí),所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為 .
【答案】4 cm3
【解析】解:由題意,連接OD,交BC于點(diǎn)G,由題意得OD⊥BC,OG= BC,
即OG的長(zhǎng)度與BC的長(zhǎng)度成正比,
設(shè)OG=x,則BC=2 x,DG=5﹣x,
三棱錐的高h(yuǎn)= = = ,
=3 ,
則V= = = ,
令f(x)=25x4﹣10x5 , x∈(0, ),f′(x)=100x3﹣50x4 ,
令f′(x)≥0,即x4﹣2x3≤0,解得x≤2,
則f(x)≤f(2)=80,
∴V≤ =4 cm3 , ∴體積最大值為4 cm3 .
故答案為:4 cm3 .
由題,連接OD,交BC于點(diǎn)G,由題意得OD⊥BC,OG= BC,設(shè)OG=x,則BC=2 x,DG=5﹣x,三棱錐的高h(yuǎn)= ,求出S△ABC=3 ,V= = ,令f(x)=25x4﹣10x5 , x∈(0, ),f′(x)=100x3﹣50x4 , f(x)≤f(2)=80,由此能求出體積最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=4,將△ABD沿BD折到△A′BD的位置,使平面A′BD⊥平面CBD.
(Ⅰ)求證:CD⊥A′B;
(Ⅱ)試在線段A′C上確定一點(diǎn)P,使得二面角P﹣BD﹣C的大小為45°.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)列滿(mǎn)足: ,且 ,其前n項(xiàng)和.
(1)求證:為等比數(shù)列;
(2)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和.
(i)當(dāng)時(shí),求;
(ii)當(dāng)時(shí),是否存在正整數(shù),使得對(duì)于任意正整數(shù),都有?如果存在,求出的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為.
(1)求圓的直角坐標(biāo)方程(化為標(biāo)準(zhǔn)方程)及曲線的普通方程;
(2)若圓與曲線的公共弦長(zhǎng)為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系內(nèi),已知是以點(diǎn)為圓心的圓上的一點(diǎn),折疊該圓兩次使點(diǎn)分別與圓上不相同的兩點(diǎn)(異于點(diǎn))重合,兩次的折痕方程分別為和,若圓上存在點(diǎn),使得,其中點(diǎn)、,則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于無(wú)窮數(shù)列,給出下列命題:
①若數(shù)列既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列,則數(shù)列是常數(shù)列.
②若等差數(shù)列滿(mǎn)足,則數(shù)列是常數(shù)列.
③若等比數(shù)列滿(mǎn)足,則數(shù)列是常數(shù)列.
④若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿(mǎn)足,則數(shù)列是常數(shù)列.
其中正確的命題個(gè)數(shù)是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點(diǎn)E、F(E與A、D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD. 求證:(Ⅰ)EF∥平面ABC;
(Ⅱ)AD⊥AC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),.
(1)在處的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍;
(3)若在點(diǎn)處的切線與軸平行,且函數(shù)在時(shí),其圖象上每一點(diǎn)處切線的傾斜角均為銳角,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)列的前項(xiàng)和為,若數(shù)列的各項(xiàng)按如下規(guī)律排列:,,,,,,,,,,…,,, …,,…有如下運(yùn)算和結(jié)論:①;②數(shù)列,,,,…是等比數(shù)列;③數(shù)列,,,,…的前項(xiàng)和為;④若存在正整數(shù),使,,則.其中正確的結(jié)論是_____.(將你認(rèn)為正確的結(jié)論序號(hào)都填上)
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