Question

若a、b、x、y均為正實數(shù)，并且x+y=1，求證：ab≤（ax+by）（ay+bx）≤

(a+b)2

4

．

Answer 1

分析：依題意，先作差（ax+by）（ay+bx）-ab后化積即可證得ab≤（ax+by）（ay+bx），再利用基本不等式對（ax+by）（ay+bx）放縮，即可證得（ax+by）（ay+bx）≤

(a+b)2

4

，從而原結(jié)論可證．

解答：證明：∵（ax+by）（ay+bx）-ab=a²xy+b²xy+abx²+aby²-ab
=xy（a²+b²）+ab（x²+y²-1）
=xy（a²+b²）+ab[（x+y）²-2xy-1]．
∵a、b、x、y均為正實數(shù)，x+y=1，
∴（ax+by）（ay+bx）-ab
=xy（a²+b²）-2abxy
=xy（a-b）²≥0，
∴ab≤（ax+by）（ay+bx）．
又（ax+by）（ay+bx）≤[

(ax+by)+(ay+bx)

2

]2=[

a(x+y)+b(x+y)

2

]2=(

a+b

2

)2=

(a+b)2

4

．
∴ab≤（ax+by）（ay+bx）≤

(a+b)2

4

．

點評：本題考查不等式的證明，著重考查作差法與放縮法的綜合應用，考查推理證明的能力，屬于中檔題．