Question

【題目】已知函數(shù)且.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）令在上的最小值為，求證：.

Answer 1

【答案】（1）.（2）見解析.

【解析】試題分析：由題意知：恒成立等價(jià)于在時(shí)恒成立，

令，由于，故 ，

可證：在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.故合題意.

（2）由（1）知 ，

所以，

令，可證，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而證明 ，

即.
試題解析：（1）法1：由題意知：恒成立等價(jià)于在時(shí)恒成立，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，

由于，所以當(dāng)時(shí)，，不合題意.

當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即 .

所以要使在時(shí)恒成立，則只需，

亦即，

令，則，

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

又，所以滿足條件的只有2，

即.

法2：由題意知：恒成立等價(jià)于在時(shí)恒成立，

令，由于，故 ，

所以為函數(shù)的最大值，同時(shí)也是一個(gè)極大值，故.

又，所以，

此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

即：在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.

故合題意.

（2）由（1）知 ，

所以，

令，則，

由于，所以，即在上單調(diào)遞增；又，，

所以，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

即在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.

所以 .（∵）

即，所以 ，

即.