Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意求出a，b的值，從而得到所求橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（1）當(dāng)AB⊥x軸時，．（2）當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．
由已知，得．把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，然后由根與系數(shù)的關(guān)系進行求解．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意∴b=1，∴所求橢圓方程為．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）當(dāng)AB⊥x軸時，．
（2）當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．
由已知，得．
把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴，．
∴|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²
=
=
=
=
=．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．當(dāng)k=0時，，
綜上所述|AB|_max=2．∴當(dāng)|AB|最大時，△AOB面積取最大值．
點評：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意公式的靈活運用，認真審題，仔細解答．