已知函數(shù)f(x)=
ax
ax+1
(a>0,a≠1),記函數(shù)[f(x)-
1
2
][f(-x)-
1
2
]的值域為D,若元素t∈D,且t∈Z,則t的個數(shù)為( 。
分析:由已知中f(x)=
ax
ax+1
,可得到函數(shù)[f(x)-
1
2
][f(-x)-
1
2
]的解析式,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),可求出D,進(jìn)而得到滿足條件的t的個數(shù).
解答:解:∵函數(shù)f(x)=
ax
ax+1
=1-
1
ax+1

∴f(-x)=
a-x
a-x+1
=
1
ax+1

故f(x)+f(-x)=1
∴[f(x)-
1
2
][f(-x)-
1
2
]=[f(x)-
1
2
][1-f(x)-
1
2
]
=-[f(x)-
1
2
]2
=-(
1
2
-
1
ax+1
2,
∵ax>0,故0<
1
ax+1
<1
-
1
2
1
2
-
1
ax+1
1
2

-
1
4
<-(
1
2
-
1
ax+1
2≤0
即D=(-
1
4
,0]
由元素t∈D,且t∈Z,
故滿足t的個數(shù)為1個
故選A
點評:本題考查的知識點是函數(shù)的值域,指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),其中根據(jù)書籍求出函數(shù)[f(x)-
1
2
][f(-x)-
1
2
]的解析式是解答的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
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34
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2x
)>3

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-f(x) ,    x<0
 給出下列命題:①F(x)=|f(x)|; ②函數(shù)F(x)是奇函數(shù);③當(dāng)a<0時,若mn<0,m+n>0,總有F(m)+F(n)<0成立,其中所有正確命題的序號是
 

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