Question

13．在下列結論中，正確結論的序號為①②④．
①函數y=sin（kπ-x）（k∈Z）為奇函數；
②若tan（π-x）=2，則${cos^2}x=\frac{1}{5}$；
③函數$y=tan（{2x+\frac{π}{6}}）$的圖象關于點$（{\frac{π}{12}，0}）$對稱；
④函數$y=cos（{2x+\frac{π}{3}}）$的圖象的一條對稱軸為$x=-\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 ①由誘導公式化函數為y=-sin或y=sinx，判斷它是奇函數；
②由tan（π-x）=2，利用誘導公式和同角的三角函數關系求出cos²x的值；
③x=$\frac{π}{12}$時2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，由此判斷函數$y=tan（{2x+\frac{π}{6}}）$的圖象不關于點$（{\frac{π}{12}，0}）$對稱；
④x=-$\frac{2π}{3}$時2x+$\frac{π}{3}$=-π，cos（2x+$\frac{π}{3}$）=-1，判斷$x=-\frac{2π}{3}$是函數$y=cos（{2x+\frac{π}{3}}）$圖象的一條對稱軸．

解答 解：對于①，函數y=sin（kπ-x）（k∈Z），
由誘導公式可化為y=-sin或y=sinx，是奇函數，命題正確；
對于②，tan（π-x）=2，∴tanx=-2
∴$\frac{sinx}{cosx}$=-2，∴sinx=-2cosx，
∴sin²x+cos²x=（-2cosx）²+cos²x=5cos²x=1，
∴${cos^2}x=\frac{1}{5}$，命題正確；
對于③，x=$\frac{π}{12}$時，2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，
∴函數$y=tan（{2x+\frac{π}{6}}）$的圖象不關于點$（{\frac{π}{12}，0}）$對稱，命題錯誤；
對于④，x=-$\frac{2π}{3}$時，2x+$\frac{π}{3}$=-π，cos（2x+$\frac{π}{3}$）=-1，
∴$x=-\frac{2π}{3}$是函數$y=cos（{2x+\frac{π}{3}}）$圖象的一條對稱軸，命題正確．
綜上，正確命題序號是：①②④．

點評 本題以命題真假為載體考查了三角函數的圖象與性質的語言問題，是綜合題．