Question

 如圖，四棱錐中，⊥底面，底面為梯形，，，且，點(diǎn)是棱上的動點(diǎn).

（Ⅰ）當(dāng)∥平面時(shí)，確定點(diǎn)在棱上的位置；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求二面角余弦值.

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）在梯形中，由，，得，∴．又，故為等腰直角三角形．∴．

連接，交于點(diǎn)，則   

∥平面,又平面,∴

在中，，

即時(shí)，∥平面

（Ⅱ）方法一：在等腰直角中，取中點(diǎn)，連結(jié)，則．∵平面⊥平面，且平面平面=，∴平面．

在平面內(nèi)，過作直線于，連結(jié)，由、，得平面，故．∴就是二面角的平面角．           

在中，設(shè)，則，

，，

，

由，可知：∽，∴，

代入解得：．

在中，，∴，

．

∴二面角的余弦值為． 

方法二：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則，，，，．

設(shè)，為平面的一個(gè)法向量，則，，∴，解得，∴．          

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，，

又，，∴，解得，∴．∴二面角的余弦值為．