Question

在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面是邊長(zhǎng)是1的正方形，側(cè)棱PA與底面成45的角，M，N，分別是AB，PC的中點(diǎn)；
（1）求證：MN∥平面PAD；（2）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證MN∥平面PAD，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證MN與平面PAD內(nèi)一直線平行，根據(jù)三角形的中位線可知PC∥EO，滿足定理?xiàng)l件；
（2）根據(jù)四棱錐P-ABCD的底面積為1，高為PD，即可求出四棱錐P-ABCD的體積．
解答：解：（1）證明：設(shè)PD的中點(diǎn)為E，連NE，AE
根據(jù)三角形的中位線可知NE∥CD，且NE=CD，
AM∥CD，且AM=CD，
∴NE∥AM，且NE=AM
∴MN∥AE，
AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD；
（2）四棱錐P-ABCD的底面積為1，
因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以四棱錐P-ABCD的高為1，
所以四棱錐P-ABCD的體積為：．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，以及直線與平面平行的判定等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．