Question

（2011•寧波模擬）如圖，?ABCD中，AB=1，AD=2AB，∠ADC=60°，EC⊥面ABCD，EF∥AC，EF=

3

2

，CE=1
（1）求證：AF∥面BDE
（2）求CF與面DCE所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）要證AF∥面BDE，根據(jù)線面平行的判定定理，只需證明AF平行于面BDE中的一條直線，即證AF∥OE；
（2）先找出線面角，只需證明：EF⊥面DCE即可，再在△FCE中，利用正切函數(shù)可得結(jié)論．

解答：（1）證明：∵平行四邊形ABCD中，AB=1，AD=2AB，∠ADC=60°
∴AC=

AD2+CD2-2AD•CDcos∠ADC

=

3

設(shè)O為AC與BD交點(diǎn)，
∵ABCD是平行四邊形
∴O為AC與BD的中點(diǎn)
∴AO=

3

2

=EF，
∵EF∥AC
∴AO∥EF
∵AO=EF
∴EOAF為平行四邊形，
∴OE∥AF
∵AF?面BDE，OE?面BDE
∴AF∥面BDE
（2）解：△ACD中，∵AD=2，AC=

3

，∠ADC=60°
∴

AC

sin∠ADC

=

AD

sin∠ACD

∴∠ACD=90°
∴AC⊥CD
∵AC∥EF
∴EF⊥CD
∵EC⊥面ABCD，AC?面ABCD，
∴EC⊥AC
∵AC∥EF
∴EF⊥EC
∵CD∩EC=C
∴EF⊥面DCE
∴∠FCE為CF與面DCE所成角
△FCE中，EF⊥CE，EF=

3

2

CE=1
∴tan∠FCE=

3

2

∴CF與面DCE所成角的正切值為

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題以線面垂直為載體，考查線面平行，考查線面角，解題的根據(jù)是利用線面平行、線面垂直的判定定理，證明線面平行、線面垂直．