【題目】已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
(1)求;
(2)證明:當(dāng)時(shí),曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn).
【答案】(1);(2)詳見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:(1),由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得,故切線方程為,將點(diǎn)代入求;(2)曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)有且只有零點(diǎn).一般思路往往利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn),從而判斷函數(shù)大致圖象,再說(shuō)明與軸只有一個(gè)交點(diǎn).本題首先入手點(diǎn)為,當(dāng)時(shí), ,且, ,所以在有唯一實(shí)根.只需說(shuō)明當(dāng)時(shí)無(wú)根即可,因?yàn)?/span>,故只需說(shuō)明,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問(wèn)題處理.
(1), .曲線在點(diǎn)處的切線方程為.由題設(shè)得, ,所以.
(2)由(1)得, .設(shè).由題設(shè)得.當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增, , ,所以在有唯一實(shí)根.當(dāng)時(shí),令,則. , 在單調(diào)遞減;在單調(diào)遞增.所以.所以在沒(méi)有實(shí)根,綜上, 在上有唯一實(shí)根,即曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類(lèi)的,,,四項(xiàng)參賽作品,只評(píng)一項(xiàng)一等獎(jiǎng),在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下:
甲說(shuō):“是或作品獲得一等獎(jiǎng)”;
乙說(shuō):“作品獲得一等獎(jiǎng)”;
丙說(shuō):“,兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”;
丁說(shuō):“是作品獲得一等獎(jiǎng)”.
若這四位同學(xué)中只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的,則獲得一等獎(jiǎng)的作品是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸,與直角坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)化曲線的方程為普通方程,并說(shuō)明它們分別表示什么曲線;
(2)設(shè)曲線與軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為,經(jīng)過(guò)點(diǎn)作斜率為1的直線, 交曲線于兩點(diǎn),求線段的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】環(huán)境監(jiān)測(cè)中心監(jiān)測(cè)我市空氣質(zhì)量,每天都要記錄空氣質(zhì)量指數(shù)(指數(shù)采取10分制,保留一位小數(shù)),現(xiàn)隨機(jī)抽取20天的指數(shù)(見(jiàn)下表),將指數(shù)不低于視為當(dāng)天空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良.
天數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
空氣質(zhì)量指數(shù) |
天數(shù) | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
空氣質(zhì)量指數(shù) |
(1)求從這20天隨機(jī)抽取3天,至少有2天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率;
(2)以這20天的數(shù)據(jù)估計(jì)我市總體空氣質(zhì)量(天數(shù)很多),若從我市總體空氣質(zhì)量指數(shù)中隨機(jī)抽取3天的指數(shù),用表示抽到空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)在處的切線方程為,求和的值;
(Ⅱ)討論方程的解的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若數(shù)列和的項(xiàng)數(shù)均為,則將數(shù)列和的距離定義為.
(1)求數(shù)列1,3,5,6和數(shù)列2,3,10,7的距離.
(2)記為滿足遞推關(guān)系的所有數(shù)列的集合,數(shù)列和為中的兩個(gè)元素,且項(xiàng)數(shù)均為.若, ,數(shù)列和的距離小于2016,求的最大值.
(3)記是所有7項(xiàng)數(shù)列(其中, 或)的集合, ,且中的任何兩個(gè)元素的距離大于或等于3.求證: 中的元素個(gè)數(shù)小于或等于16.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】經(jīng)國(guó)務(wù)院批復(fù)同意,重慶成功入圍國(guó)家中心城市,某校學(xué)生社團(tuán)針對(duì)“重慶的發(fā)展環(huán)境”對(duì)20名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查打分(滿分100分),得到如圖所示莖葉圖:
(Ⅰ)計(jì)算女生打分的平均分,并用莖葉圖的數(shù)字特征評(píng)價(jià)男生、女生打分誰(shuí)更分散;
(Ⅱ)如圖按照打分區(qū)間、、、、繪制的直方圖中,求最高矩形的高;
(Ⅲ)從打分在70分以下(不含70分)的同學(xué)中抽取3人,求有女生被抽中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若 ,且存在區(qū)間,使和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性,求的取值范圍;
(2)若 對(duì)任意恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,且點(diǎn)到直線的距離為, 與的公共弦長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn),與交于兩點(diǎn),求的取值范圍.
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