Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)在處的切線方程為，求和的值；

（Ⅱ）討論方程的解的個(gè)數(shù)，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ， ；（2）當(dāng)時(shí)，方程無解；當(dāng)或時(shí)，方程有唯一解；當(dāng)時(shí)，方程有兩解.

【解析】試題分析: （Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，利用在處的切線方程為,列出方程組求解;（Ⅱ）通過 ,判斷方程的解出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出極小值，分析出當(dāng) 時(shí)，方程無解；當(dāng)或時(shí)，方程有唯一解；當(dāng)時(shí)，方程有兩解.

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>，又在處得切線方程為，

所以，解得.

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)， 在定義域內(nèi)恒大于0，此時(shí)方程無解.

當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間內(nèi)恒成立，

所以為定義域?yàn)樵龊瘮?shù)，因?yàn)?/span>，

所以方程有唯一解.

當(dāng)時(shí)， .

當(dāng)時(shí)， ， 在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)， ， 在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.

當(dāng)時(shí)， ，無方程解；

當(dāng)時(shí)， ，方程有唯一解.

當(dāng)時(shí)， ，

因?yàn)?/span>，且，所以方程在區(qū)間內(nèi)有唯一解，

當(dāng)時(shí)，設(shè)，所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，

又，所以，即，故.

因?yàn)?/span>，所以.

所以方程在區(qū)間內(nèi)有唯一解，所以方程在區(qū)間內(nèi)有兩解，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，方程無解.