Question

已知橢圓C的對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，且過點(diǎn)，．設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

解：設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），
由題意得，，即，解得m=，n=1，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：．
聯(lián)立方程組，消去y得，10x²+36x+27=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB線段的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），
則，x₀==-，
所以y₀=x₀+2=．
故線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（-，）．
分析：設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得方程組，解出即可求得橢圓方程，聯(lián)立直線與橢圓方程構(gòu)成方程組，消掉y得x的二次方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB線段的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得x₀，代入直線方程即可求得y₀．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及橢圓方程的求解，韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式是解決該類題目的基礎(chǔ)，要熟練掌握．