Question

（2012•武漢模擬）已知橢圓C的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為

1

2

，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，

3

2

)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線y=kx-2與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且

OM

=

1

3

OA

，

ON

=

2

3

OB

，若原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓外，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)離心率的值以及橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，

3

2

)，待定系數(shù)法求出橢圓的方程；
（2）把直線的方程代入橢圓的方程，使用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合向量條件，原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓外，可得∠MON為銳角，從而∠AOB為銳角，利用向量的數(shù)量積，即可求得k的取值范圍．

解答：解：（1）依題意，可設(shè)橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵離心率為

1

2

，∴

c

a

=

1

2

，即a=2c，
∴b²=a²-c²=3c²，
∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，

3

2

)，∴

1

4c2

+

9 4

3c2

=1
解得c²=1
∴a²=4，b²=3
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）記A、B 兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x₁，x₂ ），B （x₂，y₂），
 由

y=kx-2 x2 4 + y2 3 =1

消去y，得 （4k²+3）x²-16kx+4=0，
∵直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴△=（16k）²-16（4k²+3）＞0，∴k²＞

1

4

，
由韋達(dá)定理 x₁ +x₂=

16k

4k2+3

，x₁x₂=

4

4k2+3

，
∵原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓外，∴∠MON為銳角
∵

OM

=

1

3

OA

，

ON

=

2

3

OB

∴∠AOB為銳角
∴

OA

•

OB

＞0    
∵

OA

•

OB

═x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁-2）（kx₂-2）=（k²+1）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4
=（k²+1）×

4

4k2+3

-2k×

16k

4k2+3

+4=

-12k2+16

4k2+3

∴

-12k2+16

4k2+3

＞0
∴k2＜

4

3

∵k²＞

1

4

，
∴

1

4

＜k2＜

4

3

∴k的取值范圍為(-

2 3

3

，-

1

2

)∪(

1

2

，

2 3

3

)

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，用待定系數(shù)法求橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查向量知識(shí)，綜合性強(qiáng)．