Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=-

1

2

，1+a₁+a₂+…+a_n-λa_n+1=0（其中λ≠0且λ≠-1，n∈N^*）
（1）若a₂²=a₁•a₃，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）在（1）的條件下，數(shù)列{a_n}中是否存在三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列．若存在，請(qǐng)求出此三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由已知遞推公式可求出a₂，a₃，結(jié)合已知a₂²=a₁•a₃，可求λ的值，即可得到結(jié)論．
（2）假設(shè)存在任意三項(xiàng)a_m，a_k，a_p成等差數(shù)列．建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₂=

1

2λ

，a₃=

1

2λ

+

1

2λ2

，
由a₂²=a₁•a₃，得λ=-2，
由1+a₁+a₂+…+a_n-λa_n+1=0得：
1+a₁+a₂+…+a_n-1-λa_n=0，（n≥2），
兩式相減得（1+λ）a_n-λa_n+1=0，
又λ≠0且λ≠-1，
∴a_n+1=

1+λ

λ

a_n=

1

2

a_n，（n≥2），
故數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列．
∵a₂=

1

2λ

=-

1

4

，
∴n≥2，an=-

1

4

(

1

2

)n-2=-

1

2n

，
∵a₁=-

1

2

，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式an=-

1

4

(

1

2

)n-2=-

1

2n

．
（2）假設(shè)存在任意三項(xiàng)a_m，a_k，a_p成等差數(shù)列，不妨設(shè)當(dāng)m＞k＞p≥1，
由數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，∴2a_k=a_m+a_p，
即2×(-

1

2k

)=-

1

2m

-

1

2p

，
整理得2^m-k+1=2^m-p+1，
若此式成立，則必有m-p=0且m-k+1=1，
故有m=p=k，和假設(shè)m＞k＞p矛盾，
故不存在三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，探索數(shù)列{a_n}中是否存在三項(xiàng)成等差數(shù)列．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．