Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂．過橢圓右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B上方），且|AB|=1，點(diǎn)P是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，且|F₁P|+|F₂P|=4．
（I）求橢圓C的方程；
（2）若直線PF₁，PF₂與直線y=3分別交于G，H兩點(diǎn)，求線段GH長度的最小值；在線段GH長度取得最小值的情況下，若點(diǎn)T是橢圓C上一點(diǎn)，求△TPF₁面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓定義得出a=2，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程即可求出b，從而得出橢圓方程；
（2）根據(jù)三角形相似及P點(diǎn)縱坐標(biāo)的范圍即可求出GH的最小值，求出PF₁的距離及所在直線方程，設(shè)T（2cosθ，sinθ），利用距離公式求出最大距離即可得出三角形的最大面積．

解答 解：（1）∵|F₁P|+|F₂P|=2a=4，∴a=2，
把A（c，$\frac{1}{2}$）代入橢圓方程得$\frac{{c}^{2}}{4}+\frac{1}{4^{2}}=1$，又c²=a²-b²=4-b²，
∴b²=1，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）F₁F₂=2c=2$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
設(shè)P（x₀，y₀），∵△PF₁F₂∽△PGH，
∴$\frac{GH}{{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{3-{y}_{0}}{{y}_{0}}$=$\frac{3}{{y}_{0}}$-1，∴GH=2$\sqrt{3}$（$\frac{3}{{y}_{0}}$-1），
∵0＜y₀≤1，∴當(dāng)y₀=1時(shí)，GH取得最小值4$\sqrt{3}$．
當(dāng)y₀=1時(shí)，P（0，1），F(xiàn)₁（-$\sqrt{3}$，0），∴PF₁=2，直線PF₁的方程為$\sqrt{3}$x-3y+3=0，
設(shè)T（2cosθ，sinθ），則T到直線PF₁的距離d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ-3sinθ+3|}{2\sqrt{3}}$=$\frac{|\sqrt{21}cos（θ+φ）+3|}{2\sqrt{3}}$，
∴當(dāng)cos（θ+φ）=1時(shí)，d取得最大值$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$，
∴△TPF₁面積的最大值為$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查令橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．