Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₃=5，且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）當(dāng)a₂＞a₁時，若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，設(shè)bn=

n

(n+1)Sn

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）由已知可得a22=a1•a5，然后利用等差數(shù)列的通項代入可求d與a₁的關(guān)系，再由a₃=a₁+2d=5，可求a₁，d，進而可求通項
（II）由（1）及a₂＞a₁時，可求a_n=2n-1，Sn=n2，則bn=

n

(n+1)n2

=

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項可求數(shù)列的和

解答：解：（I）∵a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，
∴

a

2 2

=a1a5，即(a1+d)2=a1(a1+4d)
∴d=0，或d=2a₁，（2分）
由a₃=a₁+2d=5，得，

a1=5 d=0

或

a1=1 d=2

．（4分）
∴a_n=5或an=2n-1(n∈N*)（6分）
（II）當(dāng)a₂＞a₁時，a_n=2n-1，
∴Sn=n2，（8分）
則bn=

n

(n+1)n2

=

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

（10分）
∴Tn=b1+b2+…+bn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

（12分）

點評：本題主要考查； 等差數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，裂項求和的應(yīng)用，屬于等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用