Question

（本題10分）已知，動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是曲線，直線：與曲線交于兩點(diǎn).（1）求曲線的方程；
（2）若，求實(shí)數(shù)的值；
（3）過點(diǎn)作直線與垂直，且直線與曲線交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

（1）曲線的方程為；（2）。
（3）當(dāng)時(shí)，四邊形面積有最大值7.

試題分析：（1）設(shè)為曲線上任一點(diǎn)，則由，化簡整理得。
（2）因?yàn)楦鶕?jù)向量的關(guān)系式，，所以，所以圓心到直線的距離，所以 
（3）對(duì)參數(shù)k，分情況討論，當(dāng)時(shí)，,
當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離，所以
，同理得|PQ|，求解四邊形的面積。
解：（1）設(shè)為曲線上任一點(diǎn)，則由，化簡整理得。
曲線的方程為              --------------3分 
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240012080951016.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
所以圓心到直線的距離，所以。   -----6分
（3）當(dāng)時(shí)，,
當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離，所以
，同理得
所以
=7當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。
所以當(dāng)時(shí)，
綜上，當(dāng)時(shí)，四邊形面積有最大值7.           --11
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是設(shè)出所求點(diǎn)滿足的關(guān)系式，化簡得到軌跡方程，同時(shí)利用聯(lián)立方程組的思想得到長度和面積的表示。