Question

如圖的倒三角形數(shù)陣滿足：（1）第1行的，n個數(shù)，分別  是1，3，5，…，2n-1；（2）從第二行起，各行中的每一個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和；（3）數(shù)陣共有n行．問：當n=2012時，第32行的第17個數(shù)是（　　）

A．2³⁷

B．2³⁶+2012

C．2³⁶

D．2³²

Answer 1

分析：設第k行的第一個數(shù)為a_k，則a₁=1，a₂=4=2a₁+2，a₃=12=2a₂+2²，a₄=32=2a₃+2³，…歸納，得a_k=2a_k-1+2^k-1（k≥2，且k∈N^*），故a_n=n•2^n-1（n∈N^*）．由數(shù)陣的排布規(guī)律可知，每行的數(shù)（倒數(shù)兩行另行考慮）都成等差數(shù)列，且公差依次為：2，2²，…，2^k，…，由此能求出第32行的第17個數(shù)．

解答：解：設第k行的第一個數(shù)為a_k，
則a₁=1，
a₂=4=2a₁+2，
a₃=12=2a₂+2²，
a₄=32=2a₃+2³，
…
由以上歸納，得a_k=2a_k-1+2^k-1（k≥2，且k∈N^*），
∴

ak

2k

=

ak-1

2k-1

+

1

2

，即

ak

2k

-

ak-1

2k-1

=

1

2

，
∴數(shù)列{

an

2n

}是以

a1

2

=

1

2

為首項，以

1

2

為公差的等差數(shù)列，
∴

an

2n

=

1

2

+（n-1）×

1

2

=

n

2

，
∴a_n=n•2^n-1（n∈N^*）．
由數(shù)陣的排布規(guī)律可知，每行的數(shù)（倒數(shù)兩行另行考慮）都成等差數(shù)列，
且公差依次為：2，2²，…，2^k，…
第n行的首項為a_n=n•2^n-1（n∈N^*），公差為2ⁿ，
∴第32行的首項為a₃₂=32•2³¹=2³⁶，公差為2³²，
∴第32行的第17個數(shù)是2³⁶+16×2³²=2³⁷．
故選A．

點評：本題考查數(shù)列的應用，解題時要認真審題，合理地總結規(guī)律，注意歸納法和構造法的合理運用．