Question

已知函數f（x）=

1

a

(x+

c

x

)（x≠0，a＞0，c＞0），當x∈（0，+∞）時，函數f（x）在x=2處取得最小值1．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設k＞0，解關于x的不等式（3k+1）-4f（x）＞

2k(k+1)-4

x

．

Answer 1

分析：（1）根據函數f（x）在x=2處取得最小值1，可知f（2）=1，f′（2）=0，可解得a、c的值，可知函數f（x）的解析式；
（2）把（1）求得的f（x）代入不等式(3k+1)-4f(x)＞

2k(k+1)-4

x

，解關于x的不等式，轉化為整式不等式求解．

解答：解：（1）∵a＞0，c＞0，
∴當x＞0時，f（x）=

1

a

(x+

c

x

)≥

1

a

•2

c

當x=

c

x

即x=

c

時，函數f（x）取得最小值

2 c

a

，
由題意

c =2 2 c a =1

?

a=4 c=4

∴f（x）=

x2+4

4x

（x≠0）
（2）（3k+1）-4f（x）＞

2k(k+1)-4

x

?(3k+1)-4•

x2+4

4x

＞

2k(k+1)-4

x

?

x2-(3k+1)x+2k(k+1)

x

＜0?

(x-2k)[(x-(k+1)]

x

＜0
∵k＞0
∴k+1＞k＞0
①當0＜k＜1時，0＜2k＜k+1，原不等式解集為（-∞，0）∪（2k，k+1）
②當k＞1時，0＜k+1＜2k，原不等式解集為（-∞，0）∪（k+1，2k）
③當k=1時，0＜2k=k+1，原不等式解集為（-∞，0）

點評：考查利用導數研究函數的極值，和含參數不等式的解法，體現了方程的思想、轉化的思想和分類討論的思想，屬難題．