Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）過點A（），離心率為，斜率為k（k≠0）的直線l經(jīng)過橢圓的上焦點F且與橢圓交于P、Q兩點，線段PQ的垂直平分線與y軸交于點M（0，m），與x軸交于點N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）記△MPQ，△NMF的面積分別為S₁、S₂，若S₁=6S₂，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意橢圓C：（a＞b＞0）過點A（），離心率為，建立方程組，即可求得橢圓C的方程；
（2）設(shè)l的方程為y=kx+1，代入橢圓方程，確定PQ的方程，令x=0可得m=，從而可求m的取值范圍；
（3）求出，M（0，），利用韋達定理求出|x₁-x₂|，進而表示出面積，利用S₁=6S₂，建立方程，即可求得直線的方程．
解答：解：（1）由題意可得，∴a=，b=1，c=1
∴橢圓C的方程為；
（2）設(shè)l的方程為y=kx+1，代入橢圓方程可得（2+k²）x²+2kx-1=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，x₁x₂=-，y₁+y₂=
∴PQ的中點坐標為（-，）
∴PQ的方程為①
令x=0可得m=，∴M（0，）
∵k≠0，∴m∈（0，）；
（3）在①中，令y=0可得：x=，∴
由（2）得，M（0，），|x₁-x₂|==
∴|x₁-x₂|=
=
∵S₁=6S₂
∴=
∴
∴k=±
∴l(xiāng)的方程為y=±x+1．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，正確表示面積是關(guān)鍵．