Question

14．用數(shù)學(xué)歸納方法證明：2²+4²+6²+…+（2n）²=$\frac{2}{3}$n（n+1）（2n+1）（n∈N*）．

Answer 1

分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，去證明等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，用上歸納假設(shè)后，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立即可．

解答 證明：①n=1時(shí)，左邊=4，右邊=4，等式成立；
②假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即2²+4²+6²+…+（2k）²=$\frac{2}{3}$k（k+1）（2k+1）
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，2²+4²+6²+…+（2k）²+[2（k+1）]²，
=$\frac{2}{3}$k（k+1）（2k+1）+[2（k+1）]²，
=$\frac{2}{3}$（k+1）（2k²+k+6k+6），
=$\frac{2}{3}$（k+1）（k+2）（2k+3），
=$\frac{2}{3}$（k+1）[（k+1）+1][2（k+1）+1]，
等式成立．
由①②可知，等式對任何正整數(shù)n都成立．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟與思路，用好歸納假設(shè)是關(guān)鍵，考查邏輯推理與證明的能力，屬于中檔題．