Question

5．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)P（2，1），且離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓短軸上有兩點(diǎn)M，N滿足$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{NO}$，直線PM、PN分別交橢圓于A，B．
（i）求證：直線AB過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（ii）求△OAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由離心率公式，將P代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）（i）設(shè)直線AB的方程為y=kx+t，代入橢圓方程，利用直線的點(diǎn)斜式方程，求得M和N點(diǎn)坐標(biāo)，由$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{NO}$，利用韋達(dá)定理，化簡當(dāng)t=-2時，對任意的k都成立，直線AB過定點(diǎn)Q（0，-2）；
（ii）S_△OAB=丨S_△OQA-S_△OQB丨=丨x₁-x₂丨，由韋達(dá)定理，弦長公式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得△OAB面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則a²=4b²，
將P（2，1）代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{4^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，則$\frac{1}{^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$，解得：b2=2，則a²=8，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）（i）當(dāng)M，N分別是短軸的端點(diǎn)時，顯然直線AB為y軸，所以若直線過定點(diǎn)，這個定點(diǎn)一點(diǎn)在y軸上，
當(dāng)M，N不是短軸的端點(diǎn)時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+t，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx+t}\end{array}\right.$，（1+4k²）x²+8ktx+4t²-8=0，
則△=16（8k²-t²+2）＞0，
x₁+x₂=-$\frac{8kt}{4{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{4{t}^{2}-8}{4{k}^{2}+1}$，
又直線PA的方程為y-1=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$（x-2），
即y-1=$\frac{k{x}_{1}+t-1}{{x}_{1}-2}$（x-2），
因此M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{（1-2k）{x}_{1}-2t}{{x}_{1}-2}$），同理可知：N（0，$\frac{（1-2k）{x}_{2}-2t}{{x}_{2}-2}$），
由$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{NO}$，則$\frac{（1-2k）{x}_{1}-2t}{{x}_{1}-2}$+$\frac{（1-2k）{x}_{2}-2t}{{x}_{2}-2}$=0，
化簡整理得：（2-4k）x₁x₂-（2-4k+2t）（x₁+x₂）+8t=0，
則（2-4k）×$\frac{4{t}^{2}-8}{4{k}^{2}+1}$-（2-4k+2t）（-$\frac{8kt}{4{k}^{2}+1}$）+8t=0，
化簡整理得：（2t+4）k+（t²+t-2）=0，
當(dāng)且僅當(dāng)t=-2時，對任意的k都成立，直線AB過定點(diǎn)Q（0，-2）；
（ii）由（i）可知：S_△OAB=丨S_△OQA-S_△OQB丨=丨$\frac{1}{2}$丨OQ丨•丨x₁丨-$\frac{1}{2}$丨OQ丨•丨x₂丨丨，
=$\frac{1}{2}$×2×丨x₁-x₂丨=丨x₁-x₂丨=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
$\sqrt{（\frac{16k}{4{k}^{2}+1}）^{2}-4×\frac{8}{4{k}^{2}+1}}$=4$\sqrt{\frac{8{k}^{2}-2}{（4{k}^{2}+1）^{2}}}$，
令4k²+1=u，則S_△OAB=4$\sqrt{\frac{2u-4}{{u}^{2}}}$，
=4$\sqrt{-（\frac{2}{u}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$≤2，
即當(dāng)$\frac{2}{u}$=$\frac{1}{2}$，u=4，即k=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，等號成立，
∴△OAB面積的最大值2．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長公式，考查橢圓與函數(shù)最值得綜合應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．