Question

13．已知曲線M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)是曲線N：y²=8x的焦點(diǎn)F，兩曲線交點(diǎn)為P、Q，若$\overrightarrow{PF}$=$\overrightarrow{FQ}$，則曲線M的實(shí)軸長為4$\sqrt{2}$-4．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，可得c=2，設(shè)出P的坐標(biāo)，運(yùn)用拋物線的定義，可得P的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，解得a，進(jìn)而得到雙曲線的實(shí)軸長．

解答 解：拋物線y²=8x的焦點(diǎn)F（2，0），準(zhǔn)線為x=-2，
由題意可得c=2，
$\overrightarrow{PF}$=$\overrightarrow{FQ}$，則P，F(xiàn)，Q共線，設(shè)P（2，n），代入y²=8x，可得n=±4
將P（2，±4）代入雙曲線的方程，可得$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{16}{^{2}}$=1，且a²+b²=4，
解得a=2$\sqrt{2}$-2，
即有雙曲線的實(shí)軸長為2a=4$\sqrt{2}$-4．
故答案為：4$\sqrt{2}$-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的實(shí)軸長，注意運(yùn)用拋物線的定義、方程和性質(zhì)，點(diǎn)滿足雙曲線方程，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．