知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，以其兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為4的正方形，設(shè)P為該橢圓上的動點，C、D的坐標分別是(-
2
，  0)，  (
2
，  0)，則PC•PD的最大值為
 
．
分析：利用正方形的面積求出橢圓的焦距、長軸長；利用橢圓的大定義求出P到兩焦點的距離，代入PC•PD轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)最值，利用二次函數(shù)求出最值．
解答：解：設(shè)左右焦點為F1、F2，上頂點為A，正方形邊長=2，
∴|AF1|=|AF2|=2，|F1F2|=2
2
，
c=
2
，
則C、D是橢圓的左右焦點，C是F1，D是F2，
根據(jù)橢圓定義，|AF1|+|AF2|=2+2=4=2a，
a是長半軸長，
a=2，
|PF1|+|PF2|=2a=4，
|PF1|•|PF2|=|PF1|•（4-|PF1|），
設(shè)|PF1|=x，
|PC|•|PD|=x（4-x）=-x2+4x═-（x-2）2+4
當x=2時．其乘積最大值為4．
當P在短軸頂點時，最大．
點評：本題考查橢圓的定義、等價轉(zhuǎn)化的能力、二次函數(shù)最值的求法．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標原點O，長軸長為2
2
，離心率e=
2
2
，過右焦點F的直線l交橢圓于P，Q兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當直線l的斜率為1時，求△POQ的面積；
（3）若以O(shè)P，OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形，求滿足該條件的直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準線l與x軸的交點為M，|MA1|：|A1F1|=2：1．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l1：x=m（|m|＞1），P為l1上的動點，使∠F1PF2最大的點P記為Q，求點Q的坐標（用m表示）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標原點O，長軸長為2
2
，離心率e=
2
2
，過右焦點F的直線l交橢圓于P、Q兩點，且直線l的斜率k＞0．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若OP⊥OQ，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，過右焦點F作斜率為1的直線交橢圓于A、B兩點，若橢圓上存在一點C，使
OA
+
OB
=
OC
，則橢圓的離心率是（　�。�

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