Question

1．已知函數f（x）=a${\;}^{si{n}^{4}\frac{x}{2}}$${\;}^{-si{n}^{2}\frac{x}{2}}$（0＜a＜1）試討論函數的奇偶性，并求出它的最大值與最小值．

Answer 1

分析 通過化簡可知f（x）為偶函數，且$si{n}^{4}\frac{x}{2}$-$si{n}^{2}\frac{x}{2}$=-$\frac{1}{4}$sin²x，進而利用函數f（x）=a^x（0＜a＜1）的單調性化簡即得結論．

解答 解：由函數f（x）的解析式易知函數f（x）為偶函數，
∵$si{n}^{4}\frac{x}{2}$-$si{n}^{2}\frac{x}{2}$=$si{n}^{2}\frac{x}{2}$（$si{n}^{2}\frac{x}{2}$-1）
=-$si{n}^{2}\frac{x}{2}$•$co{s}^{2}\frac{x}{2}$
=-$\frac{1}{4}$$（2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}）^{2}$
=-$\frac{1}{4}$sin²x，
∴$si{n}^{4}\frac{x}{2}$-$si{n}^{2}\frac{x}{2}$∈[-$\frac{1}{4}$，0]，
又∵0＜a＜1，
∴f（-$\frac{1}{4}$）＜f（x）＜f（0），
即f（x）_max=f（-$\frac{1}{4}$）=${a}^{-\frac{1}{4}}$，f（x）_min=f（0）=1．

點評 本題考查函數的最值及其幾何意義，考查函數的單調性，注意解題方法的積累，屬于中檔題．