Question

已知圓C：x²+y²=r²（r＞0）經(jīng)過點（1，

3

）．
（1）求圓C的方程；
（2）是否存在經(jīng)過點（-1，1）的直線l，它與圓C相交于A，B兩個不同點，且滿足

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

（O為坐標(biāo)原點）關(guān)系的點M也在圓C上？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點（1，

3

）代入圓的方程求得r，則圓的方程可得．
（2）假設(shè)直線l存在，設(shè)出點A，B和M的坐標(biāo)，先看若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程與圓的方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂=和x₁x₂的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)直線方程求得y₁y₂的表達(dá)式，把A，B點坐標(biāo)代入圓的方程，根據(jù)

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

求得x₀和y₀，代入圓的方程整理得x₁x₂+y₁y₂=0，進(jìn)而求得k，直線l的方程可得．再看直線l的斜率不存在時，可分別求得A，B，M的坐標(biāo)，代入圓方程結(jié)果不符合題意，可判定點M不在圓上．

解答：解：（1）由圓C：x²+y²=r²，再由點（1，

3

）在圓C上，得r²=1²+（

3

）²=4
所以圓C的方程為
x²+y²=4；
（2）假設(shè)直線l存在，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
M（x₀，y₀）
①若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：
y-1=k（x+1），
聯(lián)立

y=k(x+1)+1 x2+y2-4=0

消去y得，
（1+k²）x²+2k（k+1）x+k²+2k-3=0，
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=-

2k(k+1)

1+k2

=-2+

2-2k

1+k2

，
x₁x₂=

k2+2k-3

1+k2

=1+

2k-4

1+k2

，
y₁y₂=k²x₁x₂+k（k+1）（x₁+x₂）+（k+1）²=

2k+4

1+k2

-3，
因為點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在圓C上，
因此，得x₁²+y₁²=4，
x₂²+y₂²=4，
由

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

得x₀=

x1+ 3 x2

2

，y₀=

y1+ 3 y2

2

，
由于點M也在圓C上，
則(

x1+ 3 x2

2

)2+(

y1+ 3 y2

2

)2=4，
整理得，

x12+y12

4

+3

x22+y22

4

+

3

2

x₁x₂+

1

2

3

y₁y₂=4，
即x₁x₂+y₁y₂=0，所以1+

2k-4

1+k2

+（

2k+4

1+k2

-3）=0，
從而得，k²-2k+1=0，即k=1，因此，直線l的方程為
y-1=x+1，即x-y+2=0，
②若直線l的斜率不存在，
則A（-1，

3

），B（-1，-

3

），M(

-1- 3

2

，

3 -3

2

)；
(

-1- 3

2

)2+(

3 -3

2

)2=4-

3

≠4，
故點M不在圓上與題設(shè)矛盾
綜上所知：k=1，直線方程為x-y+2=0

點評：本題主要考查了圓的方程的綜合運用．在解決直線方程問題時，一定要對斜率的存在情況進(jìn)行討論．