Question

已知一個長方體交于一頂點的三條棱長之和為1，其表面積為
（1）將長方體的體積V表示為其中一條棱長x的函數(shù)關(guān)系，并寫出定義域；
（2）求體積的最大、最小值；
（3）求體積最大時三棱長度．

Answer 1

解：（1）設(shè)三條棱長分別為：x，y，z，則x+y+z=1，…（1分）
得，
∴V==…（4分）
又∵y+z=1-x，，
∴y、z是方程的兩根得≤x≤
∴V=（ ≤x≤）．…（6分）
（2），得或…（8分）
當(dāng)或時，V有最小值，
當(dāng)或時，V有最大值．…（10分）
（3）當(dāng)V有最大值時，三棱長分別為：． …（12分）
分析：（1）根據(jù)一個長方體交于一頂點的三條棱長之和為1，其表面積為，設(shè)三條棱長分別為：x，y，z，則x+y+z=1，，從而可得函數(shù)解析式，由此可確定函數(shù)的定義域；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，求極值點，從而可確定函數(shù)的最值；
（3）由第（2）條件最大時x的值，結(jié)合x+y+z=1，，可求三棱長度．
點評：本題i長方體為載體，考查函數(shù)關(guān)系的建立，考查導(dǎo)數(shù)的運用，考查函數(shù)的最值，有綜合性．