Question

已知一個(gè)長方體交于一頂點(diǎn)的三條棱長之和為1，其表面積為

16

27

（1）將長方體的體積V表示為其中一條棱長x的函數(shù)關(guān)系，并寫出定義域；
（2）求體積的最大、最小值；
（3）求體積最大時(shí)三棱長度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一個(gè)長方體交于一頂點(diǎn)的三條棱長之和為1，其表面積為

16

27

，設(shè)三條棱長分別為：x，y，z，則x+y+z=1，2xy+2yz+2xz=

16

27

，從而可得函數(shù)解析式，由此可確定函數(shù)的定義域；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，求極值點(diǎn)，從而可確定函數(shù)的最值；
（3）由第（2）條件最大時(shí)x的值，結(jié)合x+y+z=1，2xy+2yz+2xz=

16

27

，可求三棱長度．

解答：解：（1）設(shè)三條棱長分別為：x，y，z，則x+y+z=1，2xy+2yz+2xz=

16

27

…（1分）
得yz=

8

27

-x(y+z)=

8

27

-x(1-x)，
∴V=x(

8

27

-x+x2)=x3-x2+

8

27

x…（4分）
又∵y+z=1-x，yz=

8

27

-x(1-x)，
∴y、z是方程m2-(1-x)m+

8

27

-x+x2=0的兩根

△≥0 1-x＞0 8 27 -x+x2＞0

得

1

9

≤x≤

5

9

∴V=x3-x2+

8

27

x（ 

1

9

≤x≤

5

9

）．…（6分）
（2）V′=3x2-2x+

8

27

=0，得x=

2

9

或x=

4

9

…（8分）
當(dāng)x=

1

9

或x=

4

9

時(shí)，V有最小值

16

729

，
當(dāng)x=

2

9

或x=

5

9

時(shí)，V有最大值

20

729

．…（10分）
（3）當(dāng)V有最大值時(shí)，三棱長分別為：

5

9

，

2

9

，

2

9

．  …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題i長方體為載體，考查函數(shù)關(guān)系的建立，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，有綜合性．