Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（ax²+a+1）（a∈R）．
（Ⅰ）若a=-1，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若在區(qū)間[-2，-1]上，f(x)≥

2

e2

恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）當a=-1時，f（x）=-e^xx²，f（1）=-e．
f^′（x）=-（x²+2x）e^x，則k=f^′（1）=-3e．
∴切線方程為：y+e=-3e（x-1），即y=-3ex+2e．
（Ⅱ）由f(-2)=e-2(4a+a+1)≥

2

e2

，得：a≥

1

5

．
f^′（x）=e^x（ax²+2ax+a+1）=e^x[a（x+1）²+1]．
∵a≥

1

5

，∴f^′（x）＞0恒成立，故f（x）在[-2，-1]上單調(diào)遞增，
要使f(x)≥

2

e2

恒成立，則f(-2)=e-2(4a+a+1)≥

2

e2

，解得a≥

1

5

．