Question

2．已知M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)（不含邊界），且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}$，∠BAC=30°若△MBC、△MAB、△MAC的面積分別是x，y，z，則$\frac{1}{x+y}+\frac{4}{z}$的最小值為9．

Answer 1

分析 由向量和三角形的知識(shí)可得正數(shù)x，y，z滿足x+y+z=1，整體代入可得$\frac{1}{x+y}+\frac{4}{z}$=（$\frac{1}{x+y}+\frac{4}{z}$）（x+y+z）=5+$\frac{z}{x+y}$+$\frac{4（x+y）}{z}$，由基本不等式可得．

解答 解：由題意可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=bccos30°=2$\sqrt{3}$，
解得bc=4，故△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsin30°=1，
∴正數(shù)x，y，z滿足x+y+z=1，
∴$\frac{1}{x+y}+\frac{4}{z}$=（$\frac{1}{x+y}+\frac{4}{z}$）（x+y+z）
=5+$\frac{z}{x+y}$+$\frac{4（x+y）}{z}$≥5+2$\sqrt{\frac{z}{x+y}•\frac{4（x+y）}{z}}$=9
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{z}{x+y}$=$\frac{4（x+y）}{z}$即z=2（x+y）時(shí)取等號(hào)，
結(jié)合x+y+z=1可得x+y=$\frac{1}{3}$且z=$\frac{2}{3}$．
故選答案為：9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，涉及三角形和向量的知識(shí)，屬中檔題．