Question

7．給出下列五個(gè)命題：
①某班級一共有52名學(xué)生，現(xiàn)將該班學(xué)生隨機(jī)編號(hào)，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為4的樣本，已知7號(hào)，33號(hào)，46號(hào)同學(xué)在樣本中，那么樣本另一位同學(xué)的編號(hào)為23；
②一組數(shù)據(jù)1、2、3、3、4、5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同；
③一組數(shù)據(jù)a、0、1、2、3，若該組數(shù)據(jù)的平均值為1，則樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2；
④根據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所得的回歸直線方程為$\widehat{y}$=bx+a中a=2，$\overline{x}$=1，$\overline{y}$=3，則b=1；
⑤如圖是根據(jù)抽樣檢測后得出的產(chǎn)品樣本凈重（單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克，并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是90．
其中真命題為（　�。�

• A． ①②④
• B． ②④⑤
• C． ②③④
• D． ③④⑤

Answer 1

分析 在①中，由系統(tǒng)抽樣的原理知樣本另一位同學(xué)的編號(hào)為20；在②中，求出數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)能判斷對錯(cuò)；在③中，求出樣本的平均值、樣本的方差、標(biāo)準(zhǔn)差，能判斷對錯(cuò)；在④中，把（1，3）代入回歸直線方程，能判斷對錯(cuò)；⑤設(shè)樣本容量為n，則$\frac{36}{n}$=0.300，則n=120，由此能求出結(jié)果．

解答 解：在①中，由系統(tǒng)抽樣的原理知抽樣的間隔為52÷4=13，
故抽取的樣本的編號(hào)分別為7，7+13，7+13×2，7+13×3，
即7號(hào)、20號(hào)、33號(hào)、46號(hào)，故①是假命題；
在②中，數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的平均數(shù)為$\frac{1}{6}$（1+2+3+4+5）=3，
中位數(shù)為3，眾數(shù)為3，都相同，故②是真命題；
在③中，由題可知樣本的平均值為1，所以a+0+1+2+3=5，解得a=-1，
故樣本的方差為$\frac{1}{5}[（-1-1）^{2}+（0-1）^{2}+（1-1）^{2}+（2-1）^{2}+（3-1）^{2}]=2$，標(biāo)準(zhǔn)差為$\sqrt{2}$，故③是假命題；
在④中，回歸直線方程為$\widehat{y}$=bx+2的直線過點(diǎn)（$\overline{x}，\overline{y}$），
把（1，3）代入回歸直線方程$\widehat{y}$=bx+2，得b=1，故④是真命題；
⑤產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為（0.050+0.100）×2=0.300，
設(shè)樣本容量為n，則$\frac{36}{n}$=0.300，則n=120，
凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的頻率為（0.100+0.150+0.125）×2=0.75，
故樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是120×0.75=90．故⑤是真命題．
綜上所述，真命題為：②④⑤，
故選：B．

點(diǎn)評 本考查命題的真假判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意系統(tǒng)抽樣、頻率分布直方圖、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、線性回歸方程等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．