Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-3x．
（1）當(dāng)a=1，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為4，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x³-3x．利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x），令f′（x）=0，解得x=±1．利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系列出表格即可得出．
（2）f′（x）=3ax²-3．對(duì)a分類討論①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≤0，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，即可得出當(dāng)x=2時(shí)f（x）取得最小值；
②當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，解得x=±

1

a

．對(duì)a分以下三種情況討論：當(dāng)2≤

1

a

時(shí)；當(dāng)1＜

1

a

＜2時(shí)；當(dāng)

1

a

≤1時(shí)．研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x³-3x．∴f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），令f′（x）=0，解得x=±1．
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∴f（x）_極大值=f（-1）=2，f（x）_極小值=f（1）=-2．
（2）f′（x）=3ax²-3．
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≤0，此時(shí)函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（2）=8a-6=4，
解得a=

5

4

，不符合a≤0，應(yīng)舍去；
②當(dāng)a＞0時(shí)，令f′(x)=3a(x+

1

a

)(x-

1

a

)=0，解得x=±

1

a

．
當(dāng)2≤

1

a

時(shí)，即0＜a≤

1

4

時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（2）=8a-6=4，
解得a=

5

4

，不符合0＜a≤

1

4

時(shí)，應(yīng)舍去；
當(dāng)1＜

1

a

＜2時(shí)，即

1

4

＜a＜1時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，

1

a

]單調(diào)遞減，在區(qū)間[

1

a

，2]單調(diào)遞增，
∴f(x)min=f(

1

a

)=-

2

a

=4，無解，應(yīng)舍去；
當(dāng)

1

a

≤1時(shí)，即a≥1時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（1）=a-3=4，解得a=7＞1，符合題意．
綜上可知：實(shí)數(shù)a的值為7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值基本方法，考查了推理能力和計(jì)算能力、分類討論的思想方法，屬于難題．