Question

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且ccosB+bcosC=3acosB．
（1）求cosB的值；
（2）若=2，求b的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知得等式，根據(jù)sinA不為0即可求出cosB的值；
（2）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)•=2，將cosB的值代入求出ac的值，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將cosB代入后利用基本不等式變形，將ac的值代入計(jì)算即可求出b的最小值．
解答：解：（1）∵ccosB+bcosC=3acosB，
∴由正弦定理得：sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，
又∵sin（B+C）=sinA≠0，
∴cosB=；
（2）由•=2，得accosB=2，
∵cosB=，
∴ac=6，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB≥2ac-ac=8，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)，
則b的最小值為2．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．