Question

12．如圖所示，圓O的直徑為BD，過圓上一點(diǎn)A作圓O的切線AF交BD的延長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DE⊥AF于點(diǎn)E．
（1）證明：DA平分∠BDE；
（2）若ED=1，BD=5，求切線AF的長．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出∠DAE=∠ABD，∠BAD=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADE+∠DAE=90°，由此能證明DA平分∠BDE．
（2）由△BAD∽△AED，得AD=$\sqrt{5}$，從而AE=2，AB=2$\sqrt{5}$，再由△BAF∽△ADF，能求出切線AF的長．

解答 證明：（1）∵AE是⊙O的切線，∴∠DAE=∠ABD，
∵BD是⊙O的直徑，∴∠BAD=90°，∠ABD+∠ADB=90°，
又∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠ADB=∠ADE，
∴DA平分∠BDE．
解：（2）由（1）知△BAD∽△AED，
∴AD²=DE×BD=1×5=5，∴AD=$\sqrt{5}$，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=2，AB=$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
由題意△BAF∽△ADF，
∴DF：AF=AF：BF=AD：AB=1：2，
設(shè)AF=x，則${x}^{2}=\frac{x}{2}（5+\frac{x}{2}）$，
解得x=$\frac{10}{3}$，
∴切線AF的長為$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查DA平分∠BDE的證明，考查切線AF的長的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．