【題目】如圖,幾何體EFABCD中,CDEF為邊長為2的正方形,ABCD為直角梯形,ABCDADDC,AD=2AB=4,ADF=90°

求證:ACFB

求二面角EFBC的大。

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ) .

【解析】試題分析:

(Ⅰ)由題意結(jié)合線面垂直的判定定理可證得AC⊥平面FCB,據(jù)此有ACFB

()建立空間直角坐標系,結(jié)合半平面的法向量可得二面角EFBC的大小為.

試題解析:

(Ⅰ)證明:由題意得,ADDCADDF,且DCDF=D,

AD⊥平面CDEF,ADFC

∵四邊形CDEF為正方形.∴DCFC

DCAD=D FC⊥平面ABCD,FCAC

又∵四邊形ABCD為直角梯形,

ABCD,ADDCAD=2,AB=4

, ,則有AC2+BC2=AB2ACBC

BCFC=CAC⊥平面FCB,ACFB

(Ⅱ)解:由(I)知AD,DC,DE所在直線相互垂直,故以D為原點,以的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz…

可得D00,0),F02,2),B2,4,0),

E0,0,2),C0,2,0),A20,0),

由(Ⅰ)知平面FCB的法向量為

,

設(shè)平面EFB的法向量為則有

設(shè)二面角EFBC的大小為θ有圖易知為銳角

所以二面角EFBC的大小為

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附:

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