Question

【題目】已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且過(guò)點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)（兩點(diǎn)不是左右頂點(diǎn)），若直線的斜率為時(shí)，弦的中點(diǎn)在直線上.

（1）求橢圓的方程；

（2）若在橢圓上有相異的兩點(diǎn)（三點(diǎn)不共線），為坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線，直線，直線的斜率滿足，求證：是定值.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）

【解析】

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，將點(diǎn)代入橢圓方程，兩式作差，根據(jù)直線的斜率以及弦的中點(diǎn)在上即可求解.

（2）設(shè)直線：，，代入橢圓方程，運(yùn)用判別式大于，以及韋達(dá)定理，由條件解得，再由兩點(diǎn)間的距離公式，化簡(jiǎn)可得定值.

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

由題意可得，兩式作差可得，

又，，代入上式可得，

又因?yàn)闄E圓過(guò)過(guò)點(diǎn)，代入橢圓方程可得，

所以橢圓的方程為：.

（2）證明：設(shè)直線：，，

，

即

，

即為，

又三點(diǎn)不共線，可得，

則①，

將代入橢圓，

可得，

則②

且，

化為 ③

將②代入①可得，解得，

則，

即有