Question

1．設a為非負實數(shù)，函數(shù)f（x）=x|x-a|-a．
（1）當a=2時，求函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）求方程f（x）=0的根．

Answer 1

分析 （1）把函數(shù)的解析式寫成分段函數(shù)的形式，畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結合求得函數(shù)的單調區(qū)間．
（2）化簡函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質，分類討論求得函數(shù)y=x|x-a|的圖象和直線y=a交點的橫坐標，可得方程f（x）=0的根．

解答 解：（1）當a=2時，函數(shù)f（x）=x|x-a|-a=x|x-2|-2=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-2）-2，x≥2}\\{x（2-x）-2，x＜2}\end{array}\right.$，
它的圖象如圖所示：
結合函數(shù)f（x）的圖象，可得它的增區(qū)間為（-∞，1]、
[2，+∞）；
它的減區(qū)間為（1，2）．
（2）方程f（x）=0的根，即函數(shù)f（x）=x|x-a|-a=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax-a，x≥a}\\{{-x}^{2}+ax-a，x＜a}\end{array}\right.$ 的零點，
即函數(shù)y=x|x-a|的圖象和直線y=a交點的橫坐標．
當x≥a時，二次函數(shù)f（x）=${（x-\frac{a}{2}）}^{2}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$-a 的圖象的對稱軸為x=$\frac{a}{2}$＜a，
f（x）在（a，+∞）上單調遞增，f（a）＜0．
當x＜a時，二次函數(shù)f（x）=-${（x-\frac{a}{2}）}^{2}$+$\frac{{a}^{2}}{4}$-a 的圖象的對稱軸為x=$\frac{a}{2}$＜a，f（x）在（$\frac{a}{2}$，a）上單調遞減，
在（-∞，$\frac{a}{2}$）上單調遞增，故f（x）的極大值為f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$-a．
當f（$\frac{a}{2}$）＜0，即0＜a＜4，f（x）的圖象和x軸有唯一交點，
由x²-ax-a=0，求得 x=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$ 或x=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$（舍去）．
當f（$\frac{a}{2}$）=0，即a=4，f（x）的圖象和x軸有2個交點，x₁=2，x₂=2+2$\sqrt{2}$．
當f（$\frac{a}{2}$）＞0，即 a＞4，f（x）的圖象和x軸有3個交點，由-x²+ax-a=0，求得 x=$\frac{a±\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，
此時，函數(shù)fx）的零點為$\frac{a±\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$ 和$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$．
綜上可得，當a=0時，函數(shù)的零點為0；當0＜a＜4時，f（x）的零點為$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$；
當a=4時，f（x）的零點為2和2+2$\sqrt{2}$；
當a＞4 時，函數(shù)fx）的零點為$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$ 和$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調性以及函數(shù)的零點問題，體現(xiàn)了轉化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．