Question

18．下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在[-1，1]上單調(diào)遞增是（　　）

• A． f（x）=|sinx|
• B． f（x）=ln$\frac{2-x}{2+x}$
• C． f（x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）
• D． f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，依次分析4個(gè)選項(xiàng)所給函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，是否滿足題意，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于A、f（x）=|sinx|，有f（-x）=|sin（-x）|=|sinx|=f（x），為偶函數(shù)，不符合題意，
對(duì)于B、f（x）=ln$\frac{2-x}{2+x}$，有$\frac{2-x}{2+x}$＞0，解可得-2＜x＜2，即其定義域?yàn)椋?2，2），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又由f（-x）=ln$\frac{2+x}{2-x}$=-f（x），為奇函數(shù)，
令t=$\frac{2-x}{2+x}$=-1+$\frac{4}{x+2}$，在區(qū)間（-1，1）上為減函數(shù)，而y=lnt為增函數(shù)，
而f（x）=ln$\frac{2-x}{2+x}$在區(qū)間（-1，1）上為減函數(shù)，不符合題意，
對(duì)于C、f（x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x），其定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又由f（-x）=$\frac{1}{2}$（e^-x-e^x）=-f（x），為奇函數(shù)，
函數(shù)y=e^x為增函數(shù)，而函數(shù)y=e^-x為減函數(shù)，
故函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）在區(qū)間（-1，1）上為增函數(shù)，符合題意，
對(duì)于D、f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x），有$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x＞0，解可得x∈R，其定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又由f（-x）=-f（x），為奇函數(shù)；
令t=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}$，在區(qū)間（-1，1）為減函數(shù)，而y=lnt為增函數(shù)，
故f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）在區(qū)間（-1，1）上為減函數(shù)，不符合題意，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的判斷，關(guān)鍵是掌握函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的判定方法，尤其復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法．