Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，$\sqrt{{a_{n+1}}+1}-\sqrt{{a_n}+1}=1，n∈{N^*}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₂$\frac{{{n^2}+n}}{a_n}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求使S_n＜-4的最小自然數(shù)n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{$\sqrt{{a}_{n}+1}$}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，$\sqrt{{a}_{n}+1}$=2+n-1=n+1，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可知b_n=log₂$\frac{{{n^2}+n}}{a_n}$=log₂$\frac{n+1}{n+2}$=log₂（n+1）-log₂（n+2），求得S_n=b₁+b₂+…+b_n=1-log₂（n+2），由S_n＜-4，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求得最小自然數(shù)n的值．

解答 解：（1）由$\sqrt{{a_{n+1}}+1}-\sqrt{{a_n}+1}=1，n∈{N^*}$，
則數(shù)列{$\sqrt{{a}_{n}+1}$}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴$\sqrt{{a}_{n}+1}$=2+n-1=n+1，
∴a_n=n²+2n，
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n²+2n；
（2）b_n=log₂$\frac{{{n^2}+n}}{a_n}$=log₂$\frac{{n}^{2}+n}{{n}^{2}+2n}$=log₂$\frac{n+1}{n+2}$=log₂（n+1）-log₂（n+2），
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n=log₂2-log₂3+log₂3-log₂4+…+log₂（n+1）-log₂（n+2），
=1-log₂（n+2），
由S_n＜-4，1-log₂（n+2）＜-4，
log₂（n+2）＞5=log₂32，
∴n+2＞32，解得：n＞30，
滿足S_n＜-4的最小自然數(shù)n為31．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列通項(xiàng)公式，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．