Question

19．已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則4|FA|+|FB|的最小值為9．

Answer 1

分析 聯(lián)立方程組消元，由根與系數(shù)的關(guān)系得出A，B橫坐標(biāo)互為倒數(shù)，利用拋物線的性質(zhì)得出4|FA|+|FB|=4x₁+4+$\frac{1}{{x}_{1}}$+1，根據(jù)基本不等式得出最值．

解答 解：拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），
（1）若直線與x軸垂直，則直線方程為x=1，
代入拋物線方程得y=±2，
∴|FA|=|FB|=2，
∴4|FA|+|FB|=10．
（2）若直線與x軸不垂直，顯然直線有斜率，
設(shè)直線方程為y=k（x-1），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，消元得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁x₂=1，即x₂=$\frac{1}{{x}_{1}}$，
∵A，B在拋物線上，∴|FA|=x₁+1，|FB|=x₂+1=$\frac{1}{{x}_{1}}+1$，
∴4|FA|+|FB|=4x₁+4+$\frac{1}{{x}_{1}}$+1=4x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$+5≥2$\sqrt{4{x}_{1}•\frac{1}{{x}_{1}}}$+5=9．
當(dāng)且僅當(dāng)4x₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$即x₁=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)．
綜上，4|FA|+|FB|的最小值為9．
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．