Question

1．正三角形ABC的邊長為2，將它沿高AD翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為$\sqrt{3}$，此時四面體ABCD外接球的體積為$\frac{7\sqrt{7}}{6}π$．

Answer 1

分析 三棱錐B-ACD的三條側(cè)棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，然后求球的體積即可．

解答 解：根據(jù)題意可知三棱錐B-ACD的三條側(cè)棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，
三棱柱ABC-A₁B₁C₁的中，底面邊長為1，1，$\sqrt{3}$，
由題意可得：三棱柱上下底面中點(diǎn)連線的中點(diǎn)，到三棱柱頂點(diǎn)的距離相等，說明中心就是外接球的球心，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的球心為O，外接球的半徑為r，
球心到底面的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
底面中心到底面三角形的頂點(diǎn)的距離為：1
∴球的半徑為r=$\sqrt{\frac{3}{4}+1}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
四面體ABCD外接球體積為：$\frac{4π}{3}×（\frac{\sqrt{7}}{2}）^{3}$=$\frac{7\sqrt{7}}{6}π$．
故答案為：$\frac{7\sqrt{7}}{6}π$．

點(diǎn)評 本題考查空間想象能力，計(jì)算能力；三棱柱上下底面中點(diǎn)連線的中點(diǎn)，到三棱柱頂點(diǎn)的距離相等，說明中心就是外接球的球心，是本題解題的關(guān)鍵，仔細(xì)觀察和分析題意，是解好數(shù)學(xué)題目的前提．