Question

已知頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸的拋物線上有一點(diǎn)A(，m)，A點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為1．

(1)求該拋物線的方程；

(2)設(shè)M(x0，y0)為拋物線上的一個(gè)定點(diǎn)，過M作拋物線的兩條互相垂直的弦MP，MQ，求證：PQ恒過定點(diǎn)(x0＋2，－y0)．

 

Answer 1

（1）y2＝2x （2）見解析

【解析】(1)由題意可設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，則由拋物線的定義可得＋＝1，即p＝1，

∴拋物線的方程為y2＝2x．

(2)證明：由題意知，直線PQ與x軸不平行，設(shè)PQ所在直線方程為x＝ay＋n，代入y2＝2x得y2－2ay－2n＝0．

設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1＋y2＝2a，y1y2＝－2n，

∵M(jìn)P⊥MQ，∴kMP·kMQ＝－1．

即·＝－1，∴(y1＋y0)(y2＋y0)＝－4．

即y1·y2＋(y1＋y2)y0＋y02＋4＝0，

即(－2n)＋2ay0＋2x0＋4＝0，即n＝ay0＋x0＋2．

∴直線PQ的方程為x＝ay＋ay0＋x0＋2，

即x＝a(y＋y0)＋x0＋2，它一定過定點(diǎn)(x0＋2，－y0)．