18.如圖,在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中,∠BAD=60°,DE⊥AB于點(diǎn)E,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1E⊥EB.

(1)求證:A1D⊥DC;
(2)求二面角E-A1B-C的余弦值;
(3)判斷在線段EB上是否存在一點(diǎn)P,使平面A1DP⊥平面A1BC?若存在,求出$\frac{EP}{EB}$的值,若不存在,說(shuō)明理由.

分析 (1)由題意知EA1,EB,ED兩兩垂直,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明A1D⊥DC.
(2)求出平面A1BE的一個(gè)向量和平面A1BC的一個(gè)法向量,利用向量法能求出二面角E-A1B-C的余弦值.
(3)設(shè)$\frac{EP}{EB}$=λ(0≤λ≤1),$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=$\overrightarrow{{A}_{1}E}+\overrightarrow{EP}$=$\overrightarrow{{A}_{1}E}+λ\overrightarrow{EB}$=(-2,2λ,0),求出平面A1DP的法向量和平面A1BC法向量,利用向量法能求出在線段EB上存在一點(diǎn)P,使平面A1DP⊥平面A1BC.

解答 證明:(1)∵在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中,∠BAD=60°,DE⊥AB于點(diǎn)E,
將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1E⊥EB.
∴由題意知EA1,EB,ED兩兩垂直,建立空間直角坐標(biāo)系,
由題意得DE=2$\sqrt{3}$,從而A1(2,0,0),B(0,2,0),C(0,4,2$\sqrt{3}$),D(0,0,2$\sqrt{3}$),
∴$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=(-2,0,2$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{DC}$=(0,4,0),
∵$\overrightarrow{{A}_{1}D}$•$\overrightarrow{DC}$=0,∴A1D⊥DC.
解:(2)平面A1BE的一個(gè)向量$\overrightarrow{n}$=(0,0,1),
$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=(2,-2,0),$\overrightarrow{BC}$=(0,2,2$\sqrt{3}$),
設(shè)平面A1BC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=2x-2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=2y+2\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$,令z=1,則$\overrightarrow{m}$=(-$\sqrt{3}$,-$\sqrt{3}$,1),
∴cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$,
∴二面角E-A1B-C的余弦值為-$\frac{\sqrt{7}}{7}$.
(3)若存在一點(diǎn)P,使平面A1DP⊥平面A1BC,
設(shè)$\frac{EP}{EB}$=λ(0≤λ≤1),$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=$\overrightarrow{{A}_{1}E}+\overrightarrow{EP}$=$\overrightarrow{{A}_{1}E}+λ\overrightarrow{EB}$=(-2,2λ,0),
$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=(-2,0,2$\sqrt{3}$),
設(shè)平面A1DP的法向量$\overrightarrow{n}$=(a,b,c),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}P}=-2a+2bλ=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=-2a+2\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$,令c=λ,則$\overrightarrow{n}$=($\sqrt{3}λ,\sqrt{3},λ$),
則平面A1BC法向量$\overrightarrow{m}$=(-$\sqrt{3},-\sqrt{3}$,1),
∵平面A1DP⊥平面A1BC,
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-3λ-3+λ=0,
解得λ=-$\frac{3}{2}$,與0≤λ≤1矛盾,
∴在線段EB上存在一點(diǎn)P,使平面A1DP⊥平面A1BC.

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,考查線段比值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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