Question

定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=lnx-ax（a∈R），方程f（x）=0在R上恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．
（1）求x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0，然后代入函數(shù)的解析式，根據(jù)偶函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求出x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，則f（x）=0的根關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由f（x）=0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解知5個(gè)實(shí)根中有兩個(gè)正根，二個(gè)負(fù)根，一個(gè)零根，且兩個(gè)正根和二個(gè)負(fù)根互為相反數(shù)，從而原命題等價(jià)與當(dāng)x＞0時(shí)f（x）圖象與x軸恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即y=lnx與直線y=ax交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由幾何意義知y=lnx與直線y=ax交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2時(shí)，直線y=ax的變化應(yīng)是從x軸到與y=lnx相切之間的情形，從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0．
∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（x）=f（-x）=ln（-x）+ax．
（2）∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（x）=0的根關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
由f（x）=0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解知5個(gè)實(shí)根中有兩個(gè)正根，二個(gè)負(fù)根，一個(gè)零根．
且兩個(gè)正根和二個(gè)負(fù)根互為相反數(shù)．∴原命題?當(dāng)x＞0時(shí)f（x）圖象與x軸恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
下面研究x＞0時(shí)的情況：f（x）=0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)?y=lnx與直線y=ax交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
∴當(dāng)a≤0時(shí)，y=lnx遞增與直線y=ax下降或與x軸重合，
故交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1，不合題意，∴a＞0．
由幾何意義知y=lnx與直線y=ax交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2時(shí)，直線y=ax的變化應(yīng)是從x軸到與y=lnx相切之間的情形． 
設(shè)切點(diǎn)(t，lnt)?k=(lnx)′|x=t=

1

t

，
∴切線方程為：y-lnt=

1

t

(x-t)．
由切線與y=ax重合知a=

1

t

，lnt=1?t=e，a=

1

e

，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0，

1

e

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的解析式，以及函數(shù)與方程和根的存在性和根的個(gè)數(shù)的判斷，屬于中檔題．