Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)等于2$\sqrt{3}$，左焦點(diǎn)將長(zhǎng)軸分為長(zhǎng)度之比為1：3的兩段．
（I）求橢圓C的方程；
 （Ⅱ）若P是橢圓C上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與y軸交于點(diǎn)N，若△M0A與△N0B的面積之和等于6，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （I）由左焦點(diǎn)將長(zhǎng)軸分為長(zhǎng)度之比為1：3的兩段，可得$\frac{a-c}{a+c}$=$\frac{1}{3}$，化為a=2c．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{a=2c}\\{2b=2\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（II）設(shè)P（x₀，y₀）（x₀，y₀＞0）．則直線PA的方程為：$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}（x+2）$，可得M$（0，\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}）$．同理可得：N$（0，\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}）$．于是S_△MOA=$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，S_△NOB=$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$．根據(jù)△M0A與△N0B的面積之和等于6，可得$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$+$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$=6．與$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$．則$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$聯(lián)立解出即可．

解答 解：（I）∵左焦點(diǎn)將長(zhǎng)軸分為長(zhǎng)度之比為1：3的兩段，∴$\frac{a-c}{a+c}$=$\frac{1}{3}$，化為a=2c．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{a=2c}\\{2b=2\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得b=$\sqrt{3}$，c=1，a=2．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（II）設(shè)P（x₀，y₀）（x₀，y₀＞0），$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$．
則直線PA的方程為：$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}（x+2）$，可得M$（0，\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}）$．
直線PB的方程為：$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}（x-2）$，可得N$（0，\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}）$．
∴S_△MOA=$\frac{1}{2}|OA||OM|$=$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，S_△NOB=$\frac{1}{2}|OB||ON|$=$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$．
∵△M0A與△N0B的面積之和等于6，
∴$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$+$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$=6．
化為：$4{y}_{0}=12-3{x}_{0}^{2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{4{y}_{0}+3{x}_{0}^{2}=12}\\{3{x}_{0}^{2}+4{y}_{0}^{2}=12}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{2\sqrt{6}}{3}}\\{{y}_{0}=1}\end{array}\right.$，
∴P$（\frac{2\sqrt{6}}{3}，1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、三角形面積計(jì)算公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．