Question

11．已知函數(shù)f（x）=x³+ax+$\frac{1}{4}$，g（x）=-lnx．
（1）當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線y=f（x）的切線．
（2）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，求a的取值范圍．
（3）用min{m，n}表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），討論h（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=3x²+a．設(shè)曲線y=f（x）與x軸相切于點(diǎn)P（x₀，0），則f（x₀）=0，f′（x₀）=0解出即可；
（2）求出F（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得3x²+a+$\frac{1}{x}$≥0在[1，+∞）恒成立，即有-a≤3x²+$\frac{1}{x}$的最小值，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可得到所求范圍；
（3）對(duì)x分類討論：當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）=-lnx＜0，可得函數(shù)h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，即可得出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．當(dāng)x=1時(shí)，對(duì)a分類討論：a≥-$\frac{5}{4}$，a＜-$\frac{5}{4}$，即可得出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）=-lnx＞0，因此只考慮f（x）在（0，1）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．對(duì)a分類討論：①當(dāng)a≤-3或a≥0時(shí)，②當(dāng)-3＜a＜0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+a．
設(shè)曲線y=f（x）與x軸相切于點(diǎn)P（x₀，0），
則f（x₀）=0，f′（x₀）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{3}+a{x}_{0}+\frac{1}{4}=0}\\{3{{x}_{0}}^{2}+a=0}\end{array}\right.$，
解得x₀=$\frac{1}{2}$，a=-$\frac{3}{4}$，
因此當(dāng)a=-$\frac{3}{4}$時(shí)，x軸為曲線y=f（x）的切線；
（2）F（x）=f（x）-g（x）=x³+ax+$\frac{1}{4}$+lnx，
導(dǎo)數(shù)為F′（x）=3x²+a+$\frac{1}{x}$，
由題意可得3x²+a+$\frac{1}{x}$≥0在[1，+∞）恒成立，
即有-a≤3x²+$\frac{1}{x}$的最小值，
由3x²+$\frac{1}{x}$的導(dǎo)數(shù)為6x-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0在x≥1遞增，
即有最小值為4，
則-a≤4，解得a≥-4；
（3）當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）=-lnx＜0，
∴函數(shù)h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，
故h（x）在x∈（1，+∞）時(shí)無(wú)零點(diǎn)．
當(dāng)x=1時(shí)，若a≥-$\frac{5}{4}$，則f（1）=a+$\frac{5}{4}$≥0，
∴h（x）=min { f（1），g（1）}=g（1）=0，
故x=1是函數(shù)h（x）的一個(gè)零點(diǎn)；
若a＜-$\frac{5}{4}$，則f（1）=a+$\frac{5}{4}$＜0，
∴h（x）=min { f（1），g（1）}=f（1）＜0，
故x=1不是函數(shù)h（x）的零點(diǎn)；
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）=-lnx＞0，
因此只考慮f（x）在（0，1）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．
①當(dāng)a≤-3或a≥0時(shí)，f′（x）=3x²+a在（0，1）內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，
因此f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)，
而f（0）=$\frac{1}{4}$，f（1）=a+$\frac{5}{4}$，
∴當(dāng)a≤-3時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)沒有零點(diǎn)．
②當(dāng)-3＜a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，$\sqrt{\frac{-a}{3}}$）內(nèi)單調(diào)遞減，在（$\sqrt{\frac{-a}{3}}$，1）內(nèi)單調(diào)遞增，
故當(dāng)x=$\sqrt{\frac{-a}{3}}$時(shí)，f（x）取得最小值f（$\sqrt{\frac{-a}{3}}$）=$\frac{2a}{3}$$\sqrt{\frac{-a}{3}}$+$\frac{1}{4}$．
若f（$\sqrt{\frac{-a}{3}}$）＞0，即-$\frac{3}{4}$＜a＜0，則f（x）在（0，1）內(nèi)無(wú)零點(diǎn)．
若f（$\sqrt{\frac{-a}{3}}$）=0，即a=-$\frac{3}{4}$，則f（x）在（0，1）內(nèi)有唯一零點(diǎn)．
若f（$\sqrt{\frac{-a}{3}}$）＜0，即-3＜a＜-$\frac{3}{4}$，由f（0）=$\frac{1}{4}$，f（1）=a+$\frac{5}{4}$，
∴當(dāng)-$\frac{5}{4}$＜a＜-$\frac{3}{4}$時(shí)，f（x）在（0，1）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)-3＜a≤-$\frac{5}{4}$時(shí)，f（x）在（0，1）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上可得：當(dāng)a＞-$\frac{3}{4}$或a＜-$\frac{5}{4}$時(shí)，h（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a=-$\frac{3}{4}$或-$\frac{5}{4}$時(shí)，h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)-$\frac{5}{4}$＜a＜-$\frac{3}{4}$時(shí)，函數(shù)h（x）有三個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了分類討論思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．