Question

19．已知函數(shù)f（x）=log₂（4^x+b•2^x+4），g（x）=x．
（1）當(dāng)b=-5時(shí)，求f（x）的定義域；
（2）若f（x）＞g（x）恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)f（x）=log₂（4^x-5•2^x+4），從而可得4^x-5•2^x+4＞0，從而求定義域；
（2）由f（x）＞g（x）得4^x+b•2^x+4＞2^x，從而可得b＞1-（2^x+$\frac{4}{{2}^{x}}$），令h（x）=1-（2^x+$\frac{4}{{2}^{x}}$），從而化為最值問(wèn)題．

解答 解：（1）當(dāng)b=-5時(shí)，f（x）=log₂（4^x-5•2^x+4），
則4^x-5•2^x+4＞0，
故x＜0或x＞2；
∴f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（2，+∞）；
（2）∵f（x）=log₂（4^x+b•2^x+4），g（x）=x，
∴由f（x）＞g（x）得4^x+b•2^x+4＞2^x，
即b＞1-（2^x+$\frac{4}{{2}^{x}}$），
令h（x）=1-（2^x+$\frac{4}{{2}^{x}}$），
則h（x）≤-3，
∴當(dāng)b＞-3時(shí)，f（x）＞g（x）恒成立，
故b的取值范圍是（-3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的定義域的求法及恒成立問(wèn)題．