Question

11．△ABC中，C=arccos$\frac{7}{9}$，且△ABC周長(zhǎng)為4，求其面積的最大值．

Answer 1

分析 由C=arccos$\frac{7}{9}$，可得cosC，sinC的值，由余弦定理，基本不等式可求ab的最大值，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算得解三角形面積的最大值．

解答 解：∵C=arccos$\frac{7}{9}$，可得：cosC=$\frac{7}{9}$，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∴由余弦定理可得：c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}-2abcosC}$=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}-\frac{14ab}{9}}$，
∴4=a+b+c=a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}-\frac{14ab}{9}}$≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab-\frac{14ab}{9}}$=$\frac{8}{3}$$\sqrt{ab}$，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”）
∴ab≤$\frac{9}{4}$，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{4}$×$\frac{4\sqrt{2}}{9}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”），
∴△ABC面積的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．