Question

9．如圖，已知長方形ABCD中，AB=2AD，M為DC的中點．將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（Ⅰ）求證：AD⊥BM；
（Ⅱ）若E是線段DB上的一動點，問點E在何位置時，三棱錐E-ADM的體積與四棱錐D-ABCM的體積之
比為1：3？

Answer 1

分析 （Ⅰ）先證明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，證明BM⊥平面ADM，從而可得AD⊥BM；
（Ⅱ）E為BD的中點，此時${S}_{△MBC}=\frac{1}{2}{S}_{△MAB}$，計算體積可得結(jié)論．

解答 證明：（Ⅰ）長方形ABCD中，AB=2AD，M為DC的中點，
∴AM=BM，
∴BM⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD?平面ADM
∴AD⊥BM；
解：（Ⅱ）E為BD的中點，此時${S}_{△MBC}=\frac{1}{2}{S}_{△MAB}$，
∴V_E-ADM=$\frac{1}{2}•\frac{2}{3}•{V}_{D-ABCM}$=$\frac{1}{3}$V_D-ABCM．

點評 折疊問題一般是重點分析折疊后未變的平行與垂直關(guān)系，線段的長，角度的不變的量；作為探究性問題，先把結(jié)論當成已知，然后結(jié)合已知條件列出方程求解，若有符合題意的解，則結(jié)論成立，否則不成立．