Question

f(x)=

2x

x+2

，x₁=1，x_n=f（x_n-1）（n∈N且n≥2），
（1）計(jì)算x₂，x₃，x₄的值；
（2）并猜想x_n（n∈N₊）的值；
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）∵f(x)=

2x

x+2

，x₁=1，x_n=f（x_n-1），
∴x₂=

2

3

，x₃=

2

4

=

1

2

，x₄=

2

5

；
（2）猜想x_n=

2

n+1

（n∈N₊）              （*）      
（3）①當(dāng)n=1時(shí)，x₁=1=

2

1+1

，（*）成立；        
②假設(shè)n=k時(shí)（*）成立，即x_k=

2

k+1

當(dāng)n=k+1時(shí)，x_k+1=f（x_k）=

2xk

xk+2

=

2× 2 k+1

2 k+1 +2

=

2

(k+1)+1

即當(dāng)n=k+1時(shí)，（*）成立      
根據(jù)①和②，可知對任何n∈N₊（*）都成立．